Tablas Matemáticas de David: Derivadas Hiperbolicas

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sinh(x) = cosh(x) cosh(x) = sinh(x) tanh(x) = 1 - tanh(x)^2 csch(x) = -coth(x)csch(x) sech(x) = -tanh(x)sech(x) coth(x) = 1 - coth(x)^2

Demostraciónes de las Derivadas de los Hiperbolicas.

Demostración de sinh(x) = cosh(x) : Desde la derivada de e^{^x}

Dando: sinh(x) = ( e^{^x} - e^{^-x} )/2; cosh(x) = (e^{^x} + e^{^-x})/2; ( f(x)+g(x) ) = f(x) + g(x); La Regla de Cadenos; ( c*f(x) ) = c f(x).
Resuelva:

sinh(x)= ( e^{^x}- e^{^-x} )/2 = 1/2 (e^{^x}) -1/2 (e^{^-x})

= 1/2 e^{^x} + 1/2 e^{^-x} = ( e^{^x} + e^{^-x} )/2 = cosh(x)       Q.E.D

Demostración de cosh(x) = sinh(x) : Desde la derivada de e^{^x}

Given: sinh(x) = ( e^{^x} - e^{^-x} )/2; cosh(x) = (e^{^x} + e^{^-x})/2; ( f(x)+g(x) ) = f(x) + g(x); La Regla de Cadenos; ( c*f(x) ) = c f(x).
Resuelva:

cosh(x)= ( e^{^x} + e^{^-x})/2 = 1/2 (e^{^x}) + 1/2 (e^{^-x})

= 1/2 e^{^x} - 1/2 e^{^-x} = ( e^{^x} - e^{^-x} )/2 = sinh(x)       Q.E.D.

Demostración de tanh(x)= 1 - tan^{^2}(x) : desde las derivadas de sinh(x) y cosh(x)

Dando: sinh(x) = cosh(x); cosh(x) = sinh(x); tanh(x) = sinh(x)/cosh(x); La Regla de Cocientes.
Resuelva:

tanh(x)= sinh(x)/cosh(x)

= ( cosh(x) sinh(x) - sinh(x) cosh(x) ) / cosh^{^2}(x)

= ( cosh(x) cosh(x) - sinh(x) sinh(x) ) / cosh^{^2}(x) = 1 - tanh^{^2}(x)       Q.E.D.

Demostración de csch(x)= -coth(x)csch(x), sech(x) = -tanh(x)sech(x), coth(x) = 1 - coth^{^2(x)} : Desde las derivadadas de sus funciones recíprocos

Dando: sinh(x) = cosh(x); cosh(x) = sinh(x); tanh(x) = 1 - tanh^{^2}(x); csch(x) = 1/sinh(x); sech(x) = 1/cosh(x); coth(x) = 1/tanh(x); La Regla de Cocientes.

csch(x)= 1/sinh(x)= ( sinh(x) 1 - 1 sinh(x))/sinh^{^2}(x) = -cosh(x)/sinh^{^2}(x) = -coth(x)csch(x)

sech(x)= 1/cosh(x)= ( cosh(x) 1 - 1 cosh(x))/cosh^{^2}(x) = -sinh(x)/cosh^{^2}(x) = -tanh(x)sech(x)

coth(x)= 1/tanh(x)= ( tanh(x) 1 - 1 tanh(x))/tanh^{^2}(x) = (tanh^{^2}(x) - 1)/tanh^{^2}(x) = 1 - coth^{^2}(x)